Diese Seite gliedert sich in folgende Abschnitte: Zufällige Portfolios haben die Möglichkeit, das Fondsmanagement zu revolutionieren. Sie könnten denken, das heißt, sie müssen esoterisch und komplex sein. Du wärst falsch 8212 die Idee ist sehr einfach. Um zufällige Portfolios zu haben, brauchst du ein Universum von Vermögenswerten und einige Beschränkungen, um die Portfolios aufzuerlegen. Eine Reihe von zufälligen Portfolios ist ein Beispiel aus der Population von Portfolios, die alle Einschränkungen befolgen. Abbildung 1 zeigt den Stichprobenbereich (in Gewichten) für ein Spielzeugproblem von drei Vermögenswerten. Die Einschränkungen sind: long-only kein Gewicht größer als 45 eine maximale Flüchtigkeit Volatilitätsbeschränkungen sind nichtlinear und daher ist die Grenze, die dieser Einschränkung entspricht, nichtlinear. Von Affen und Männern und Dart Die bekannteste Form von zufälligen Portfolios ist die Börse Dartboard Spiel. Menschen oder Affen werfen Darts, um ein oder mehrere Vermögenswerte auszuwählen. Die Auswahl über Darts wird dann mit einer professionellen Auswahl verglichen. Das macht Spaß und fast ein toller Ansatz, hat aber zwei Fehler. Das erste Versagen ist, dass wir nur sehen, ob der Profi eine zufällige Auswahl übertrifft. Wir können nicht sehen, welche Fraktion der zufälligen Auswahl der Profi übertrifft. Um wirklich informiert zu sein, müssen wir in der Reihenfolge von hundert oder mehr zufälligen Selektionen sehen. Das zweite Versagen ist, dass die Darts nicht irgendwelche Einschränkungen befolgen. Das ist fair in einem Zeitungswettbewerb, wo die Fachleute auch keine Zwänge haben. Aber echte Fonds haben Zwänge. Der Vergleich eines Fonds mit Zwängen zu zufälligen Portfolios ohne Einschränkungen macht den Fonds im Nachteil. Performance-Messung Es gibt zwei Möglichkeiten, um zufällige Portfolios zu verwenden, um eine Leistungsmessung zu erreichen: die statische Methode und die Shadowing-Methode. Wir werden sehen, warum die Leistungsmessung über Benchmarks unterlegen ist. Die statische Methode In der statischen Methode generieren wir eine Reihe von zufälligen Portfolios, die den Einschränkungen zu Beginn des Zeitraums gehorchen, diese Portfolios während des gesamten Zeitraums halten und ihre Renditen für den Zeitraum finden. Der Perzentil des Fonds ist der Prozentsatz der zufälligen Portfolios mit größeren Renditen. (Die Konvention in der Leistungsmessung ist gut in der Nähe des nullten Perzentils und schlecht, um nahe dem 100. Perzentil zu sein.) Abbildung 2 ist ein Beispiel. Es zeigt die Verteilung der Renditen der zufälligen Portfolios in blau. Und die Rückgabe des Fonds in Gold. In diesem Fall hat sich der Fonds nicht sehr gut entwickelt. Das ist sehr ähnlich wie die Leistungsmessung mit Peer-Gruppen. In beiden Fällen verwenden wir einen einzigen Zeitraum, und in beiden Fällen vergleichen wir unseren Fonds mit einer Reihe von alternativen Möglichkeiten. Es gibt einige signifikante Unterschiede aber 8212 wir markieren zwei. In Peer-Gruppen sind die Alternativen andere Fonds, die 8220similar8221 zum Fonds von Interesse sind. Idealerweise würden nur Mittel mit den gleichen Einschränkungen verwendet. Auf der anderen Seite wollen wir viele Kollegen haben, um mehr Präzision zu bekommen. So gibt es gegensätzliche Kräfte für kleine Peer-Gruppen gegen große Peer-Gruppen. Es gibt keine solche Spannung mit zufälligen Portfolios 8212 können wir so viele zufällige Portfolios erzeugen, wie wir möchten. Ein ernsteres Problem mit Peer-Gruppen ist, dass wir don8217t wissen, was die Ergebnisse bedeuten. Wir sind zu glauben, dass, wenn unser Fund von Interesse besser als alle, aber 10 seiner Kollegen, dann unsere fund8217s Geschick ist etwa in der 10. Perzentil unter seinen Kollegen. Dies setzt voraus, dass Unterschiede in der Fertigkeit die Unterschiede im Glück beherrschen. Eine solche Annahme ist wahrscheinlich nicht gerechtfertigt. Vor allem, wenn es der Fall ist, dass kein Fonds Fähigkeiten hat (oder alle Fonds haben gleiche Fähigkeiten), dann ist unser Fonds am 10. Perzentil des Glücks 8212 die Maßnahme enthält keine Informationen überhaupt. Burns (2007a) erweitert dieses Argument. Surz (2006, 2009) diskutiert zusätzliche Probleme mit Peer-Gruppen. Die Shadowing-Methode Die statische Methode für zufällige Portfolios ist informativer als Peer-Gruppen. Aber es ist noch ziemlich generische Informationen. Leistung ist 8212 an Wurzel 8212 über Entscheidungen. Die Idee der Shadowing-Methode ist es, zufällige Trades zu verwenden, um die Entscheidungen nachzuahmen, die der Fonds annimmt. Dies kann uns ein viel klareres Bild von dem Wert des Entscheidungsprozesses geben. Ein Beispiel wird in der Performance-Messanwendungsseite diskutiert. Benchmarks Ein Fonds wird gegen eine Benchmark beurteilt, indem er eine Reihe von Renditen des Fonds mit den entsprechenden Renditen für die Benchmark vergleicht. Diese Methode hat ein paar Probleme. Die wichtigste ist die Zeit, die es braucht, um zu entscheiden, dass ein guter Fonds wirklich besser ist als der Benchmark 8212 wird es wahrscheinlich Jahrzehnte dauern. Die Macht dieser Tests in der idealen Einstellung ist in Burns gegeben (2007a) 8212 mehrere Jahre sind erforderlich, um vernünftige Leistung auch für außergewöhnliche Fähigkeiten zu bekommen. Aber die Realität ist viel schlimmer als das Ideal, weil die Schwierigkeit, einen Benchmark zu schlagen, nicht konstant ist. Wenn sich die meisten stark gewichteten Aktiva in der Benchmark relativ gut verhalten, dann wird es schwer sein, die Benchmark zu schlagen. Umgekehrt, wenn die schwersten gewichteten Vermögenswerte relativ schlecht verlaufen, dann wird es leicht sein, die Benchmark zu schlagen. Kothari und Warner (2001) diskutieren dies. Abbildung 3 zeigt den Prozentsatz der Fonds, die die SampP 500 als Benchmark haben, die die Benchmark in jedem Jahr übertroffen hat 8212 siehe Einzelheiten hierzu in 8220Performance Measurement über Random Portfolios8221. Um zu glauben, dass der Vergleich aussagekräftig ist, müssen wir denken, dass die Fondsmanager 8212 als Gruppe 8212 seit Jahren arm waren, wurde plötzlich für drei Jahre gut und ging dann zurück zu arm. Burns (2007b) diskutiert die Leistungsmessung in der etwas anderen Einstellung der Prüfung der Empfehlungen der Marktkommentatoren. Testen von Handelsstrategien Fondsmanager und potenzielle Fondsmanager stehen bei der Entscheidung über eine Handelsstrategie vor einer Reihe von Problemen. Hier untersuchen wir zwei: Im Grunde liegt das Problem, falsch zu sein, und das Problem, richtig zu sein. Data Snooping macht die Strategien besser aussehen als sie wirklich sind. Um zu sehen, warum, nehmen Sie an, dass Sie 1000 Handelsstrategien, die völlig zufällig waren, ausprobiert haben. Derjenige, der am besten passierte, könnte vernünftig gut aussehen. Hoffentlich wird ein Investment Manager isn8217t versuchen, völlig zufällige Strategien zu versuchen, aber Auswahl Bias wird noch bestehen. Wenn ähnliche Modelle in mehreren Firmen verwendet werden, um eine Menge Geld zu verwalten, dann ist ein Fondsmanager, der diese Modelle benutzt, dramatischen Bewegungen auf dem Markt unterworfen. Das zeigte sich im August 2007 für viele Menschen. Ohne Krise ist es schwer zu sagen, dass dies geschieht. Zufällige Portfolios können mit dem ersten Problem helfen, und vielleicht mit dem zweiten. Handelsstrategien können mit der oben beschriebenen Beschattungsmethode getestet werden. Es gibt einen entscheidenden Unterschied zwischen der Leistungsmessung und dem Testen einer Handelsstrategie. Bei der Prüfung einer Handelsstrategie wollen wir den Shadowing-Prozess mehrmals mit unterschiedlichen Startportfolios durchführen. Dieser Testprozess reduziert die Wirkung von Daten Snooping, weil es eine viel strengere Definition einer erfolgreichen Strategie. Der Fondsmanager ist immer noch anfällig für Veränderungen im Marktverhalten, aber viel weniger anfällig für falsche Interpretationen der historischen Periode. Testing mit zufälligen Portfolios kann in der Lage sein, Herden zu reduzieren, weil die Technologie macht es möglich, um mehr kurzlebige Signale abholen. Rational Investment Aktuelle Praxis ist weniger als rational für: Tracking-Fehler-Einschränkungen Performance-Gebühren Constraint-Grenzen Tracking Error Constraints Viele Mandate geben dem Investment Manager einen Benchmark und einen maximalen Tracking-Error von der Benchmark. Das ist in vielerlei Hinsicht verschwenderisch. In nahezu allen Fällen kann der Anleger einen Indexfonds für die Benchmark mit sehr geringen Verwaltungsgebühren erwerben. Was ist der Vorteil, einen aktiven Manager einzustellen, um einen Fonds zu führen, der mit dem Indexfonds sehr korreliert ist. Wenn der Manager die Benchmark nicht mehr als die zusätzlichen Verwaltungsgebühren übertrifft, dann gibt es offensichtlich keinen Vorteil. Wenn der Manager die Fähigkeit hat, den Benchmark konsequent zu schlagen, dann könnte diese Fähigkeit viel besser genutzt werden. Ein qualifizierter Fondsmanager sollte generell höhere Renditen erzielen können, wenn die Tracking-Fehler-Einschränkung fallengelassen wird. Angenommen, der Investor hat Geld in den Index, dass höhere Rendite des unbeschränkten Managers auch wertvoller sein wird. Alles andere ist gleich, es ist besser für den aktiven Fonds eine geringe Korrelation mit dem Index zu haben. Dies erweist sich als das gleiche wie ein großer Tracking-Fehler. Das heißt, die rationale Sache wäre, eine minimale Tracking-Fehler-Einschränkung anstatt eine maximale Tracking-Fehler-Einschränkung aufzuerlegen. Der Grund gibt es maximale Tracking-Fehler-Einschränkungen ist, um die Illusion, dass wir sehen können, wenn der Fondsmanager ist übertreffen oder nicht. Wir können wirklich sagen, indem wir Benchmarks, aber wir können mit zufälligen Portfolios zu sagen, auch wenn es isn8217t eine Tracking-Fehler-Einschränkung. Zufällige Portfolios arbeiten gleichermaßen für die Leistungsmessung, egal welcher Tracking-Fehler dort ist. Performance-Gebühren Wenn Sie eine Performance-Gebühr haben, ist es nicht eine gute Idee, um es relativ zu einem Benchmark haben. Wie Abbildung 3 impliziert, ist das meist eine Wette zwischen dem Fondsmanager und dem Investor, ob große Caps übertreffen werden. Geschicklichkeit wird sehr wenig damit zu tun haben. Ein vernünftigeres Ziel wäre die mittlere Rendite eines Satzes von zufälligen Portfolios, die den Zwängen des Fonds gehorchen. Constraint-Effekte Wir können zufällige Portfolios verwenden, um rational zu entscheiden, was die Constraint-Grenzen sein sollen. Zwänge werden gewöhnlich ohne Sinn für das, was gewonnen und verloren ist, auferlegt. Abbildung 4 zeigt eine beispielhafte Analyse von Einschränkungen. Die Dichten der realisierten Nutzen über die Zeit sind für einen bestimmten Satz von Einschränkungen (Gold) und für diese Einschränkungen plus eine Volatilitätsbeschränkung (blau) gezeigt. Während der normalen Marktzeiten werden wir der Volatilitätsbeschränkung ziemlich gleichgültig sein. Doch während der schlechten Marktbedingungen von 2008 war die Volatilitätsbeschränkung sehr wertvoll. Zusätzliche Verwendungen von zufälligen Portfolios Eine Reihe von zusätzlichen Verwendungen von zufälligen Portfolios wurden vorgeschlagen und es gibt sicherlich eine große Anzahl von Anwendungen, die noch zu entdecken sind. Hier diskutieren wir einige weitere Verwendungen. Bewertung von Risikomodellen Zufällige Portfolios bieten ein Mittel, um realistische Portfolios zu generieren, die durch Risikomodelle gesteuert werden können, um zu sehen, wie sie funktionieren. Risikomodelle können miteinander verglichen werden, oder einzelne Modelle können auf Schwachstellen getestet werden. Abbildung 5 zeigt ein Beispiel für den Vergleich eines Risikomodells8217s Vorhersage der Volatilität auf die realisierte Volatilität für rund 12020 Portfolios. Die Korrelation zwischen vorhergesagter und realisierter Volatilität über eine große Anzahl von zufälligen Portfolios wurde berechnet. General-Quant-Tool Zufällige Portfolios können in so ziemlich allen quantitativen Übungen mit Portfolios verwendet werden. Eine Liste von einigen der Verwendungen ist in der Quant-Research-Anwendung Seite. Die Idee von zufälligen Portfolios ist nicht neu 8212 eine frühe Verwendung war 8220Programm ausgewählte Portfolios8221 von Dean LeBaron und Kollegen bei Batterymarch Financial Management in den 19708217s. Eine noch frühere Verwendung ist in einer amerikanischen Statistical Association Rede von James Lorie im Jahr 1965 beschrieben (jede Rede, die mit Mark Twain beginnt und endet in St. Tropez can8217t alles schlecht sein). An diesem Punkt streckten zufällige Portfolios Rechenfähigkeit aus. Die rechnerische Geschwindigkeit ist bei der Technik nicht mehr ein ernstes Problem. Einige technische Punkte Die statistischen Bootstrap - und Random-Permutationstests sind Techniken, die die Datenanalyse in den letzten Jahrzehnten radikal verändert haben. Je nachdem, wie zufällige Portfolios verwendet werden, sind sie im Allgemeinen einer dieser Techniken gleichwertig. Die Verwendung von zufälligen Portfolios zur Leistungsmessung ist analog zu einem zufälligen Permutationstest. Die Untersuchung der Wirkung von Einschränkungsgrenzen, wie in Fig. 5, ist ähnlich, wie der Bootstrap verwendet werden kann. Der einzige wirkliche Unterschied ist, dass aufgrund der Einschränkungen zufällige Portfolios schwerer zu berechnen sind. Diskussion Senior Consultant veröffentlichte einige Testimonials auf PIPODs. Während dies speziell über eine Implementierung, die meisten der Kommentare gelten für zufällige Portfolios im Allgemeinen. Auch naiv generierende zufällige Portfolios können nützlich sein. Beispiele hierfür sind Mikkelsen (2001) Kritzman und Page (2003) und Asso, L8217Her und Plante (2004). Kothari und Warner (2001) zeigen, dass das Benchmarking gegen einen Index problematisch ist und deren Technik zufällige Portfolios beinhaltet. Die folgenden Produkte wurden unabhängig voneinander erstellt und nur Portfolio-Sonde ist mit Burns Statistics verknüpft. Portfolio-Sonde von Burns Statistics. Dies hat eine breite Palette von Einschränkungen, einschließlich der sehr wichtigen der Begrenzung der Volatilität der Portfolios. PODs und PIPODs von PPCA Inc. Referenzen Asso, Kodjovi, Jean-Franois L8217Her und Jean-Franois Plante (2004). 8220Is gibt es wirklich eine Hierarchie in Investment Choice8221 hec. cacrefpdfc-04-15d. pdf Bridgeland, Sally (2001). 8220Prozessenzuordnung 8212 eine neue Möglichkeit zur Messung der Fertigkeiten im Portfoliobau8221 Journal of Asset Management. Burns, Patrick (2006). Portfolioanalyse mit zufälligen Portfolios (pdf der kommentierten Präsentationsfolien) Burns, P. (2006). 8220Random Portfolios für Performance Measurement8221 in Optimierung, Ökonometrie und Finanzanalyse E. Kontoghiorghes und C. Gatu, Redakteure. Springer Burns, P. (2007a). 8220Bullseye8221 Professional Investor März Ausgabe. Eine sehr ähnliche Version steht als Dart für das Herz Carl, Peter und Brian Peterson und Kris Boudt (2010) zur Verfügung. 8220Geschäftsziele und komplexe Portfoliooptimierung8221. RFinance Tutorial Daniel, G. D. Sornette und P. Wohrmann (2008). 8220Look-Ahead Benchmark Bias in Portfolio Performance Evaluation8221 Arbeitspapier bei SSRN Dawson, Richard und Richard Young (2003). 8220Nurly-einheitlich verteilte, stochastisch generierte Portfolios8221 in Fortschritte in Portfolio-Konstruktion und Implementierung von Stephen Satchell und Alan Scowcroft bearbeitet. Butterworth-Heinemann. Elton, E. J. M. Gruber, S. J. Brown und W. N. Goetzmann (2003). Moderne Portfolio-Theorie und Investitionsanalyse, Sechste Auflage (Kapitel 24, Bewertung der Portfolio-Performance). Kothari, S. 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Jeder Lauf der Strategie wird mit einer Anzahl von passenden zufälligen Läufen verglichen, die bekanntermaßen null Geschick haben. Wichtig ist, dass diese Art von Backtest Zeiträume zeigt, in denen die Strategie funktioniert und wann es nicht funktioniert. Live-Portfolios können auf diese Weise auch überwacht werden. Dies ermöglicht fundierte Entscheidungen wie Änderungen der Hebelwirkung in Echtzeit. 1 Einleitung Zufällige Portfolios-Portfolios, die den gegebenen Einschränkungen gehorchen, aber das Dienstprogramm ignorieren, sind ein leistungsfähiges Instrument in der Finanzierung. Burns, 2004 diskutiert die Verwendung von zufälligen Portfolios für die Messung der Performance von Fonds. Der Fokus hier ist auf die Verwendung von ihnen zu finden, eine gute Trading-Strategie eine verwandte, aber unterschiedliche Aufgabe. Eine Strategie hat zwei Teile: ein Mittel zur Vorhersage von Renditen (Alpha-Modell) und eine Methode des Handels, um zu versuchen, die Vorteile des Alphas zu nutzen. Die Durchführung eines statistischen Tests der Vorhersagen ist relativ einfach. Es gibt Daten Snooping Probleme, aber auch so ist es in der Regel möglich, einen guten Sinn zu haben, ob eine Vorhersage-Methode ist ein Signal abholen oder nicht. Zufällige Portfolios bieten einen rigorosen Test der Handelsstrategie als Ganzes, was praktisch unmöglich ohne zufällige Portfolios erscheint. Angenommen, wir haben die Ergebnisse einer Handelsstrategie über einen gewissen Zeitraum. Wenn wir eine Liste aller möglichen Handelswege hätten, die wir hätten nehmen können, dann würden wir genau wissen, wie gut unsere Strategie für den Zeitraum und für jede Unterperiode war. Wir würden wissen, dass unsere Strategie x der Population von Pfaden übertraf. In unserem Beispiel ist das Universum von Größe 186 und die Portfolios sind von Größe 50. Es gibt 6.89e45 Möglichkeiten zur Auswahl der 50 Aktien im Portfolio am Ende des Handelszeitraums. Für jede dieser Sätze von Aktien gibt es zahlreiche Dieser Bericht kann in der Arbeitspapiere Abschnitt der Burns Statistics Website gefunden werden 1 2 Möglichkeiten zur Auswahl der Anzahl der Aktien für jede Aktie, die die Einschränkungen zu befolgen. Für jedes gegebene endgültige Portfolio gibt es zahlreiche Wege, um dort aus dem ursprünglichen Portfolio zu kommen. Die Anzahl der möglichen Wege ist endlich, aber so eine große Zahl, dass es praktisch unendlich ist. Aber wir müssen nicht alle Wege haben, um unsere Strategie zu bewerten. Wenn wir eine zufällige Teilmenge der Pfade erzeugen, können wir statistische Aussagen über die Qualität der Strategie machen. Alle einführenden Statistikbücher diskutieren die Stichproben aus einer Bevölkerung, und das ist nur das, was wir tun. Ein paar tausend Pfade sind die meisten, die wir jemals für praktische Zwecke brauchen würden. R R Development Core Team, 2005 und die POP Portfolio Construction Suite Burns Statistics, 2005 wurden für Berechnungen in diesem Papier verwendet. 2 Beispieldaten Ein spezielles Beispiel dient der Veranschaulichung der Verwendung von zufälligen Portfolios zur Auswertung einer Strategie. Das Universum der Aktien ist 186 US-Aktien, die eine unsystematische Mischung aus großen Caps und Small Caps sind. Die täglichen Daten werden ab Beginn der ersten 500 Tage verwendet, um die Varianzmatrix für die erste Portfoliooptimierung abzuschätzen und die Stärke der Vorhersage zu bewerten. Die nächsten 1000 Tage sind die Zeit, in der der Handel stattfindet. Daten nach diesen 1500 Tagen bleiben unberührt, so dass es für die Prüfung einer endgültigen Strategie verwendet werden könnte. Das Alpha-Modell für jede Aktie ist das gleich gewichtete Mittel der Renditen an den letzten 26 Handelstagen abzüglich des gleich gewichteten Mittelwerts der Renditen der letzten 12 Tage. Das heißt, es ist eine Moving Average Convergence Divergence Schätzung. Aficionados von MACD verwenden in der Regel exponentielle Gewichte. 3 Auswertung der Vorhersage Der erste Schritt bei der Auswertung einer Strategie besteht darin, den Vorhersageprozess zu testen. Ein gemeinsamer Ansatz ist, einen Schildtest zu machen, ein Erfolg wird erzielt, wenn die Vorhersage und die realisierte Rückkehr entweder beide über ihrem Median oder beide unter ihrem Median sind. Es ist ein Misserfolg, wenn man unter seinem Median ist und der andere über seinem Median ist. Die Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bewerten. Wir können auch testen, ob die Spearman-Korrelation zwischen der Vorhersage und den realisierten Renditen positiv ist. Die Spearman-Korrelation verwendet die Ränge und nicht die tatsächlichen Datenwerte. Es ist eine leicht robuste Version der üblichen (Pearson) Korrelation. Die Spearman-Korrelation reagiert nicht so stark auf Ausreißer, aber es ist immer noch ein fairer Betrag von Ausreißern betroffen, wie es in dieser Einstellung sein sollte. Neben der Aussage über die richtige Robustheit ist ein weiterer Grund, die Spearman-Korrelation zu bevorzugen, dass die p-Werte aus dem Test nahe stehen, auch wenn die Verteilungen nicht sehr nahe an der Normalverteilung liegen. Rücksendungen sollten nicht davon ausgegangen werden, dass sie der Normalverteilung folgen. 2 3 Abbildung 1: P-Werte (eine für jede Aktie) des Spearman-Korrelationstests für 2-tägige Renditen während der Vorhandels - und Handelsperioden. Frequenz P-Wert Die Fig. 1 und 2 zeigen die Verteilung der p-Werte aus dem Spearman-Test zur Vorhersage von 2 und 5 Tagen vor den ersten 1500 Tagen der Daten, die die Handelsperiode einschließt. In beiden Fällen gibt es eine unverhältnismäßige Anzahl von Aktien mit kleinen p-Werten. Wir freuen uns. Wie Abbildung 3 zeigt, muss der Schildtest nicht unbedingt mit dem entsprechenden Spearman-Test übereinstimmen. Die p-Werte können wesentlich anders sein, besonders wenn der Beweis mehrdeutig ist. Ein besserer Ansatz zum Testen der Vorhersage ist, die Daten vor der Handelsperiode zu verwenden. Dies bewahrt die Handelsperiode von der Daten-Snooping-Bias, die durch die Suche nach einem adäquaten Prädiktor verursacht wird. Abbildung 4 zeigt einen Test für diesen Zeitraum. Es gibt tatsächlich ein Defizit von Aktien mit kleinen p-Werten. Eindeutig ist dieser Prädiktor für alle Zeiträume nicht sinnvoll. In einem echten Fall hätten wir den Handel nicht weiter getestet, nachdem wir das gesehen haben. Wir würden den Prädiktor vor dem Fortfahren schärfen. (Wir müssten auch mehr Daten für die Vorhersage-Testperiode verwenden.) 4 Leistungsbewertung In Abwesenheit von zufälligen Portfolios ist es schwer, einen guten Sinn für die Qualität der Strategie zu bekommen. Die durchschnittliche Rendite über den Zeitraum ist eine offensichtliche Maßnahme. Allerdings ist dies unwahrscheinlich, dass ein gültiger Indikator für zukünftige Renditen in der Tat, unser Beispiel wird zeigen, dass es ziemlich irreführend sein kann. 3 4 Abbildung 2: P-Werte (eine für jede Aktie) des Spearman-Korrelationstests für 5-tägige Renditen während der Vorhandels - und Handelsperioden. Frequenz P-Wert Abbildung 3: P-Werte des Spearman-Tests gegenüber dem Vorzeichen-Test für 5-tägige Renditen während der Vorhandels - und Handelsperioden. P-Wert aus Spearman-Test P-Wert aus Sign Test 4 5 Abbildung 4: P-Werte (eine für jede Aktie) des Spearman-Tests für 5-tägige Renditen während des Zeitraums vor dem Handel. Frequenz-P-Wert Eine Optimierung wird jeden Tag in unserer Teststrategie durchgeführt. Die Geschäfte werden am Ende des Tages nach den aktuellsten Daten, die in Schätzungen verwendet werden, durchgeführt. Ziel ist es, das Informationsverhältnis mit der Einschränkung zu maximieren, dass der Umsatz (kauft plus verkauft) auf etwa 400 pro Jahr begrenzt ist. Die Anzahl der Aktien im Portfolio ist zwangsläufig zwischen 45 und 50 in der Realität, das Portfolio ist fast immer von der Größe 50. Das Portfolio ist lang-kurz mit dem Nettowert in der Nähe von Null gehalten. Es versucht, den absoluten Wert des netto weniger als 5 des Bruttowertes zu haben, und versucht sehr schwer, es weniger als 10 des Brutto zu haben. Es versucht, das maximale Gewicht eines jeden Vermögenswertes im Portfolio weniger als 10 zu halten (wobei das Gewicht die absolute Größe einer Position ist, die durch das Brutto des Portfolios geteilt wird). Die Varianzmatrix an jedem Tag ist ein statistisches Faktormodell, das mit den Daten der letzten 500 Tage gebaut wurde. 4.1 Einstufungsportfolio Abbildung 5 zeigt die Vermögenskurve der Handelsstrategie, die von einem bestimmten Portfolio ausgeht. Das anfängliche Portfolio wird in den (alphabetisch) ersten 50 Aktien im Universum grob gleich gewichtet, wobei jede zweite Aktie eine Short-Position hat. Das Startportfolio ist ein beliebiges Portfolio, das die Einschränkungen erfüllt. Die Kurve berücksichtigt nicht die Handelskosten, aber angesichts der Tatsache, dass der Umsatz auf nahezu 400 pro Jahr beschränkt ist, wird die Auswirkung der Handelskosten leicht beurteilt. Wir wollen zufällige Portfolios generieren, die die eigentliche Optimierung nachahmen 5 6 Abbildung 5: Der Reichtum aus der Handelsstrategie. Reichtum Backtest Im Wesentlichen schaffen wir eine Reihe von hypothetischen Fondsmanagern, die die gleiche Aufgabe ausführen, die wir machen, aber keine Fähigkeiten haben. Wenn wir die meisten dieser hypothetischen Manager übertreffen, ist das ein Beweis dafür, dass wir Geschick haben. In der Tat können wir eine Schätzung davon bekommen, wie viel Geschick wir ausstellen. Hier ist ein Überblick über die Erstellung der Portfolios für die hypothetischen Führungskräfte. Der erste Schritt besteht darin, eine Liste zu erstellen, eine Liste aufzurufen, wobei die Länge gleich der Anzahl der zu generierenden zufälligen Portfolios ist (100 im Beispiel). Initialisieren Sie jede Komponente der Liste mit dem Startportfolio. Jetzt über die Handelszeiten hinauslaufen Die erste Sache ist, die erwartete Rendite und Varianzmatrix zu aktualisieren. Für jeden zufälligen Pfad: Holen Sie sich das bestehende Portfolio generieren einen zufälligen Handel weg von der bestehenden Portfolio speichern die gewünschten Informationen über das neue Portfolio setzen das neue Portfolio in den entsprechenden Ort der vorhandenen Liste. (Ende Schleife über zufällige Pfade, Endschleife über Handelszeiten) Abbildung 6 zeigt die Reichtumskurven von 100 zufälligen Portfolios mit den gleichen Einschränkungen wie der Optimierungsprozess. Eine einfachere Art, das Muster der zufälligen Portfolios zu sehen, besteht darin, zu jedem Zeitpunkt ein paar Quantile zu zeichnen. Die Linien, die geplottet werden, sind keine individuellen Portfolios, sondern wechseln Portfolios von Zeit zu Zeit. Abbildung 7 zeigt den tatsächlichen Optimierungsreichtum relativ zu den Quantilen der zufälligen Portfolios. Bis Mitte 1998 hat es eine mittelmäßige Leistung, an welcher Stelle er die zufälligen Portfolios deutlich übertrifft. Es hat eine schlechte Leistung beim Dot-Com-Kollaps und erholt sich dann leicht. Es ist merkwürdig, dass eine Strategie, die nur 8,5 in 4 Jahren Tests so gut gewinnt. Beachten Sie, dass die Quantile der zufälligen Portfolios im Allgemeinen abwärts geneigt sind. Das ursprüngliche Portfolio verliert das Geld über diesen Zeitraum, und sein In-6 7 Abbildung 6: Pfade von 100 zufälligen Portfolios mit den gleichen Einschränkungen wie die Optimierung. Reichtum Abbildung 7: Random Portfolio-Quantile (Minimum, 5, 10, 25, 50, 75, 90, 95, Maximum) in blau und die eigentliche Optimierung (in schwarz). Reichtum 8 Abbildung 8: Quantile von zufälligen Portfolios beginnend mit dem angegebenen Portfolio (blau) und Quantilen von zufälligen Portfolios beginnend mit dem Gegenteil des angegebenen Portfolios (grün). Die Reichtumsflüssigkeit bleibt bestehen, obwohl das Portfolio bis zum Ende des Berichtszeitraums gehandelt wird. Dieses Startportfolio ist ein schweres Handicap. Wir können dies sehen, indem wir zufällige Portfolios erzeugen, die das entgegengesetzte Startportfolio haben, das ist, die Longpositionen werden kurz gemacht und die Short-Positionen lang gemacht. Ein Vergleich der Quantile der beiden Sätze von zufälligen Portfolios ist in Abbildung 8. Wahrscheinlich haben wenige vermutet, dass der Einfluss des Startportfolios so lange bestehen würde. Wenn die Reichtumskurve unserer Strategie mit den zufälligen Portfolios mit dem entgegengesetzten Startportfolio verglichen werden müsste, hätten wir sicherlich nicht außergewöhnlich gefunden. Zufällige Portfolios, die lang-kurz sind, sind nahe an symmetrisch um keinen Gewinn, wenn das Ändern des Vorzeichens jeder Position eines zufälligen Portfolios auch die Einschränkungen erfüllt. Im vorliegenden Fall bricht ein bestimmtes Startportfolio diese Symmetrie. Die in Fig. 8 dargestellten Verteilungen sind in der Nähe von Spiegelbildern voneinander. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, wie die Symmetrie gebrochen werden kann. Zum Beispiel, wenn der Bereich für den Nettowert nicht symmetrisch um Null ist. 4.2 P-Wert-Kontrollkarten Vielleicht wichtiger als eine Bewertung der Strategie für die gesamte Handelsperiode ist es, Unterperioden zu identifizieren, in denen die Strategie besonders gut oder schlecht gearbeitet hat. An jedem Börsentag ergibt sich die Anzahl der zufälligen Portfolios, dass 8 9 größer sind als die Rendite aus dem realen Portfolio der Hauptbestandteil für den p-Wert eines Tests. Der Test ist, dass die Rendite aus dem Portfolio nicht größer ist als die durchschnittliche zufällige Portfolio-Rendite. Die p-Werte aus einzelnen Tagen können über die Stouffer-Methode kombiniert werden (siehe Burns, 2004), um ein glatteres Bild zu bekommen, wann die Strategie gut durchgeführt wurde. Abbildung 9 zeigt 10-Tage-nicht-überlappende p-Werte. Es gibt Punkte in der Zeit, wo das Portfolio plötzlich zu einem schlechteren oder einem besseren Zustand relativ zu den zufälligen Portfolios wechselt. Wir möchten, dass die p-Werte nicht größer als 0,5 sind, aber in diesem Fall gibt es Perioden, in denen sie sich 1 für einige Zeit nähern. Das bedeutet, dass die Strategie erheblichen Nachteilen ausgesetzt ist und daher nicht besonders appetitlich ist. Ein weiteres Merkmal in Abbildung 9 ist, dass die Strategie scheint schlechter zu spielen, wie die Zeit fortschreitet. Es gibt mindestens zwei mögliche Erklärungen dazu. Eines davon ist, dass das Alpha-Modell während des ganzen Zeitraums Kraft verliert, dies könnte entweder vorübergehend oder dauerhaft sein. Eine andere Möglichkeit ist, dass die zufälligen Portfolios irgendwie systematisch von der eigentlichen Strategie abweichen. Die Volatilität der zufälligen Portfolios in den letzten zwei Jahren ist im Allgemeinen deutlich höher als die Volatilität des optimierten Portfolios während dieser Zeit. Während die Optimierung nicht formell eine Einschränkung der Volatilität hat, begünstigt der Optimierungsprozess eine geringere Volatilität. Die Einschränkung der zufälligen Portfolios, um eine Volatilität zu haben, die nicht viel größer ist als die Volatilität des optimierten Portfolios, würde wahrscheinlich eine gerechtere Bewertung liefern. Ohne eine solche Einschränkung würden wir erwarten, dass die p-Werte im Laufe der Zeit höher treiben. Während es natürlich ist, anzunehmen, dass die Anzahl der Schlusspositionen bei der Optimierung größer wäre als in den zufälligen Portfolios, gab es in den zufälligen Portfolios in der Tat mehr Schlusspositionen. So können die zufälligen Portfolios schneller vom ursprünglichen Portfolio abweichen (was schlecht ist) als die optimierte Strategie. Ein Kontrolldiagramm, das aus zufälligen Portfolios generiert wird, die immer die gleiche Anzahl von Schlusspositionen wie das reale Portfolio haben, zeigt weniger einen Trend in den p-Werten. Dies beseitigt den Verdacht, dass das Alpha-Modell im Laufe der Zeit schlechter wird. Plots like Figure 9 can be used in real-time to monitor if a portfolio is losing its edge. The plot could be used as a control chart to signal when the portfolio has gone out of control (either to the bad side or the good side). If the series of non-overlapping p-values is predictable, then it could be used to make decisions for example, on changing the leverage. 4.3 Complete Evaluation Process The wealth curve for the optimized portfolio of Section 4.1 has a p-value of 3 for the whole time period relative to the random paths that were generated. This is the p-value given that we start with the portfolio that we did. We aren t actually interested in that particular starting portfolio, we want to know how well the strategy performs starting from anywhere. Here we outline our recommendation of the entire process. 9 10 Figure 9: P-values combined over 10 non-overlapping days for the returns of the strategy relative to the random portfolio returns. Combined p value For each of several random starting portfolios perform the procedure given in Section 4.1. Examine the set of p-values that are obtained one for each starting portfolio. Very few p-values should be larger than one-half, and you should be quite concerned if any are close to 1. Look at the p-value control chart for each run. Plotting multiple p-value paths in one chart could highlight times when the strategy does especially poorly (or well). If the p-values are uniformly small both for the whole trading period and within the trading period then the strategy will be good. Let s apply this to our example strategy. Figure 10 displays the wealth curves of the strategy for 20 randomly selected starting portfolios. Figure 11 shows the average wealth curve from these 20 runs. Since we know in this case that no skill is equivalent to zero gain, we can make some general observations. (Otherwise we could have plotted the wealth curve of the average random portfolios as well.) 1998 is a good year for the strategy, 1999 is about flat, and the first part of 2000 is bad. MACD is basically a momentum strategy. It makes sense that 1998 should be good, and that early 2000 (when the stock market was meanreverting) should be bad. It is a bit puzzling that 1999 was not also a good year for the strategy. 10 11 Figure 10: Wealth curves of the example strategy from 20 random starting portfolios. Wealth Figure 11: Wealth curve of the strategy averaged over the 20 starting portfolios. Wealth 12 Figure 12: The 20 whole period p-values compared to the theoretical uniform distribution. Whole Period P values Theoretical Quantiles 12 of the 20 wealth curves end the period with gains. But p-values are a more telling statistic. Figure 12 displays the 20 p-values for the whole trading period versus the expected values from the uniform distribution. We want the points to be below the line this shows the strategy being slightly worse than no skill over this time period. (Constraining volatility in the random portfolios might have improved the results slightly.) This is a key plot, it is evidence that our strategy definitely should not be used. From Figure 10 it is clear that the strategy would have looked very good if the trading period were only Even though we have evidence that we have prediction power, we aren t using that to good advantage. There are (at least) two ways to get a p-value from an optimization run and its associated random portfolios. The first is to count the number of random paths that outperform the optimized path this is what is plotted in Figure 12. The second is to combine the daily p-values over the trading period. These are subtly different in meaning is there outperformance over the period versus is there ever outperformance. Figure 13 compares these for the 20 random starting portfolios. The combined p-values are substantially smaller in this case. That means that the strategy has more days of being really good than really bad. We also examine the p-values throughout the trading period for the 20 runs. Figure 14 plots the first and third quartiles of 10-day p-values (combined from daily p-values). Though noisy, there are clearly good and bad periods. Our example strategy has an inefficiency. The same fraction of the value of the portfolio is traded each day. However, the value of trading is highly unlikely 12 13 Figure 13: Comparison of the whole period p-values to the combined daily p-values. Combined Daily P values Whole Period P values Figure 14: The first and third quartiles of the 10-day non-overlapping p-values from the 20 runs. Combined p value 14 to be constant. A better approach is to use trading costs to limit the amount that is traded. More will be traded when the existing portfolio is expected to do poorly than when it is expected to do well. While getting the trading costs to be approximately right is non-trivial, it can be quite a valuable effort. 5 Comparing Competing Strategies In the previous section we took rather a cynical view and asked if the strategy exhibited any value at all. Once you are in the position to believe that you have a strategy that does have value, you may want to compare it with another strategy to determine if either is significantly better. If the constraints for the two strategies are the same, then a reasonable approach is to test the difference in returns from them. If the trading were daily, then a starting portfolio would be fixed, the two strategies would be run, and the data used in the test would be the differences of the daily returns. A t-test would be approximately correct, however the differences in returns would probably have longer tails than the normal distribution. A sign test or a signedrank test may be more appropriate. P-values could be combined from tests based on different starting portfolios. Random portfolios could be used in this case, but would be redundant. Random portfolios are useful when the constraints are different for the two strategies. For instance if one strategy is much less volatile than the other, then a comparison of returns is not especially appropriate. Each strategy can be mimicked by random portfolios, and the difference in daily p-values tested. 6 Constraint Evaluation Another application of random portfolios is to get a sense of the usefulness of constraints that we put on the portfolio. One of the constraints in the example was a maximum weight of 10. A set of random portfolios were generated with the maximum weight constraint removed. Figure 15 shows the quantiles. Figure 16 compares the terminal wealth of the random portfolios with the 10 limit on the maximum weight with that of the random portfolios with no limit on the maximum weight. The two distributions are remarkably similar. Of particular interest is whether imposing the weight limit restricts the upper tail of the wealth. There is no evidence of that. The weight constraint has a minimal effect on the random portfolios, so there remains the question of its effect on the strategy. The constraint avoids large losses from a single stock prediction being wrong, but also removes the possibility of a large gain from a single stock with a correctly large prediction. For the example alpha model, the constraint is undoubtedly useful since it not uncommonly gives a signal in the wrong direction. The appropriateness of this constraint appears to be largely a function of the quality of the alpha model. 14 15 Figure 15: Random portfolio quantiles (minimum, 5, 10, 25, 50, 75, 90, 95, maximum) with no maximum weight constraint. Wealth Figure 16: Comparison of the terminal wealth of the random portfolios with and without a maximum weight constraint. Terminal Wealth, Max Weight: 10 Terminal Wealth, Max Weight: 100 15 16 7 Summary There are three main problems when creating a trading strategy: Learning the strength of the prediction Evaluating the quality of the trading strategy Avoiding bias and false beliefs from data snooping We ve demonstrated a couple of statistical tests that deal with the first problem the sign test and the Spearman correlation test. Random portfolios can directly attack the second problem. They provide defensible and sensitive statements on the efficacy of a trading strategy. The results can be presented graphically with wealth curves or with p-value control charts. Random portfolios also help some with the third problem. Random portfolios provide p-values, which can be adjusted to account for data snooping. A p-value of is generally thought to be quite good. However, if you have tried a thousand different strategies and your best p-value is 0.001, then there is about a 63 probability of no value for the best strategy. The more consistent your results across time and across different universes, the more confidence you can have that you are not just data snooping. It is standard practice to reserve a period of the most recent data to test the final strategy. The focus here has been on researching a strategy before going live with it. However, p-value control charts plots of p-values over time are useful for live portfolios as well. The returns (or another measure of utility) over the recent past can be compared to those of a set of random portfolios. This gives instant feedback on the performance of the portfolio. A control chart can also be maintained that combines the results from a number of optimized portfolios with random starting points this will show the current usefulness of the strategy itself. References Burns, 2004 Burns, P. (2004). Performance measurement via random portfolios. Working paper, Burns Statistics, Burns Statistics, 2005 Burns Statistics (2005). User s Manual. POP Portfolio Construction R Development Core Team, 2005 R Development Core Team (2005). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, ISBNRandom Portfolios for Evaluating Trading Strategies Patrick Burns January 13, 2006 Random portfolios can provide a statistical test that a trading strategy performs better than chance. Each run of the strategy is compared to a number of matching random runs that are known to have zero skill. Importantly, this type of backtest shows periods of time when the strategy works and when it doesnt. Live portfolios can be monitored in this way as well. This allows informed decisions - such as changes in leverage - to be made in real-time. Number of Pages in PDF File: 16 Keywords: investment skill, MACD, performance measurement Date posted: February 8, 2006 Suggested Citation Burns, Patrick, Random Portfolios for Evaluating Trading Strategies (January 13, 2006). Available at SSRN: ssrnabstract881735 or dx. doi. org10.2139ssrn.881735 1. Using a Z-score Approach to Combine Value and Momentum in Tactical Asset Allocation By Peng Wang and Larry Kochard 2. A Quantitative Approach to Tactical Asset Allocation By Meb Faber People who downloaded this paper also downloaded: 1. Using a Z-score Approach to Combine Value and Momentum in Tactical Asset Allocation By Peng Wang and Larry Kochard 2. A Quantitative Approach to Tactical Asset Allocation By Meb Faber 4. MATLAB Applications of Trading Rules and GARCH with Wavelets Analysis By Eleftherios Giovanis 5. Relative Strength Strategies for Investing By Meb Faber 6. Absolute Momentum: A Simple Rule-Based Strategy and Universal Trend-Following Overlay By Gary Antonacci 7. Demystifying Time-Series Momentum Strategies: Volatility Estimators, Trading Rules and Pairwise Correlations By Nick Baltas and Robert Kosowski 8. Pairs Trading: Performance of a Relative Value Arbitrage Rule By Evan Gatev. William Goetzmann. 9. Risk Premia Harvesting Through Dual Momentum By Gary Antonacci 10. Technical Analysis in Financial Markets By Gerwin Griffioen
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